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Quand l'infini devient fini

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Prologue

Il est très répandu de penser que si l'on ajoute « à l'infini » (c'est-à-dire sans jamais s'arrêter d'ajouter), la somme obtenue est infinie.

C'est vrai dans certains cas, mais pas toujours ...

Un exemple en géométrie

Prenons l'exemple d'une spirale que l'on construit ainsi :

On prend un carré de côté 1 par exemple (en rouge) et on construit à l'intérieur un quart de cercle.

Ensuite, on construit un carré dont le côté est égal à la moitié du précédent (en bleu) dans lequel on trace un quart de cercle dont le rayon est égal à la mesure du côté du carré dans lequel il se trouve.

Ensuite, on trace le carré vert dont la mesure des côtés est égale à la moitié de celle du carré précédent et on trace un quart de cercle. Etc.

Le principe est que la construction est infinie ; ainsi, la longueur de la spirale est a priori infinie.

Si on note \( c_n \) la suite représentant la mesure des côtés des carrés successifs, \( c_{n+1} = \frac{1}{2}c_n \) avec \( c_1= 1 \). Cette suite est une suite géométrique de raison \( \frac{1}{2} \) et de premier terme \( c_1=1 \) donc, quel que soit l'entier naturel \( n \), on a : \[ c_n = \dfrac{1}{2^{n-1}}. \]

Ainsi, on a : \[ \ell_n = \dfrac{\pi c_n}{4}. \]

La longueur totale de la spirale est alors : \[ S_n = \ell_1 + \ell_2 + \cdots = \dfrac{\pi}{4}\left(c_1 + c_2 + \cdots \right). \]

Or, la somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule : \[ u_1+u_2+\cdots+u_n=u_1\times\dfrac{1-q^{n}}{1-q}.\]

Ainsi,\[ c_1+c_2+\cdots=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{ 1 - \frac{1}{ 2^{n-1} } }{1-\frac{1}{2}} = \lim_{n\to+\infty}\left[ 2\left(1 - \dfrac{1}{2^{n-1}} \right) \right] =2 \]

car \( \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2^n}=0 \). On peut alors conclure que la longueur totale de la spirale est \( \dfrac{\pi}{4} \times 2 = \dfrac{\pi}{2} \).

Une somme à une infinité de termes peut donc être égale à une valeur finie.

Mais que ce passe-t-il ?

Pourquoi obtient-on un tel résultat ? C'est assez difficile à dire simplement ... Regardons deux autres exemples.

La série harmonique

Cette série est une somme infinie définie par : \[ H_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n}.\]

On arrive à démontrer que \( H_n \) est infinie ; en fait, on démontre que \( \lim\limits_{n\to+\infty} \left( H_n - \ln n \right) = \gamma \), où \( \gamma \) est une constante appelée la constante d'Euler dont une valeur approchée est 0,5772.

Pour en savoir plus, visitez cette page : [ wikipedia ]

La série des carrés des inverses

Modifions légèrement la série harmonique et considérons la série suivante : \[ I_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}.\]

Nous n'avons pas fait grand-chose : juste élever au carré chaque termes de la série harmonique ... Et pourtant, on arrive à démontrer (à l'aide par exemple des séries de Fourier) que : \[ \lim_{n\to+\infty} I_n = \dfrac{\pi^2}{6}. \]

Ainsi, cette somme infinie est égale à un nombre fini !

Pour expliquer cela, on pourrait dire que les termes de la série harmonique deviennent de plus en plus proche de 0, certes, mais se rapprochent de 0 « moins vite » que les termes de la seconde série, ce qui a pour effet que la série harmonique n'arrive pas à « se stabiliser » car on ajoute toujours un terme qui n'est pas assez négligeable. Bien entendu, cette explication est simpliste mais permet je l'espère de vous expliquer grosso modo ce phénomène.

Pour en savoir plus

Les sommes infinies portent un nom : ce sont des séries. L'étude des séries se fait dans l'enseignement supérieur et là, nous voyons qu'il existe quelques théorèmes qui nous permettent de savoir si une série converge (i.e. si la somme infinie est égale à une valeur finie) ou si elle diverge. Mais ces théorèmes ne nous permettent pas de connaître la limite si la série converge. Là, il faudra d'autres théorèmes (Parseval, Dirichlet, absolue convergence, et bien d'autres).

Attention : ne confondez pas ce que nous venons de voir avec le célèbre problème de la série de Grandi. Pour en savoir plus sur cette série, [ cliquez ici ]

Épilogue

Méfiez-vous de l'infini, c'est une notion compliquée et qui a été à l'origine d'une bataille féroce entre mathématiciens et philosophes à la fin du XIXe siècle. Pour en savoir plus, [ lisez ce livre ].

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2017  Le blog de Stéphane Pasquet