image1 image2 image3

La somme infinie des inverses au carré est finie

Note utilisateur: 0 / 5

Etoiles inactivesEtoiles inactivesEtoiles inactivesEtoiles inactivesEtoiles inactives
 

Prologue

Dans l'article intitulé Quand l'infini devient fini, je vous ai parlé de la somme : \[ 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots \] et je vous ai dit que cette somme vallait \( \dfrac{\pi^2}{6} \). Nous allons voir ici une démonstration faisant intervenir des notions post bac.

La démonstration

Elle n'est pas très longue si l'on possède le bon outil. L'outil en question est le théorème de Parseval.

Théorème de Parseval

Soit \( f \) une fonction de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{C} \) périodique de période \( \dfrac{2\pi}{\omega} \), bornée, et telle que \(\vert f \vert^2 \) soit intégrable. Alors, on a : \[ \vert a_0\vert^2 + \dfrac{1}{2}\sum_{n\geqslant1}\left( \vert a_n\vert^2+\vert b_n\vert^2 \right) = \dfrac{\omega}{2\pi}\int_I \vert f(x) \vert^2\text{d}x \]

où \( I \) est un intervalle de périodicité.

 

Le théorème de Parseval appliqué à la fonction définie sur \(]-\pi~;~\pi[\) par \( f(x)=x\) donne : \[ \dfrac{1}{2}\sum_{n\geqslant1}\dfrac{4}{n^2}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert x\vert^2\text{d}x=\dfrac{\pi^2}{3}\] soit  :\[\sum_{n\geqslant1}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}.\]

En effet, la fonction \( f \) étant impaire, tous les \( a_n \) sont nuls.

De plus, \[ b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\text{d}x=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}.\]

Pour aller plus loin ...

En appliquant ce même théorème à la fonction \( \begin{cases}g(x)=0 & \text{sur }]-\pi~;~0[ \\ g(x)=1 & \text{sur }]0~;~\pi[\end{cases} \) définie sur \(]-\pi~;~\pi[\), on arrive à montrer que la somme des carrés des inverses des nombres impairs est égale à : \[ \sum_{n\geqslant0}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}.\]

Avec la fonction \( h(x)=\vert x\vert\), on montre que : \[ \sum_{n\geqslant1}\dfrac{1}{(2n+1)^4}=\dfrac{\pi^4}{96}.\]

 

Dans un cas général, on montre que : \[ \forall k\in2\mathbb{N}, \exists c_k\in\mathbb{N}~\vert~\sum_{n\geqslant1}\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{\pi^k}{c_k}.\]

Ajouter un Commentaire


Code de sécurité
Rafraîchir

joomla templatesjoomla template
2017  Le blog de Stéphane Pasquet