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Pourquoi ne peut-on pas compter les nombres réels ?

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Prologue

Les entiers naturels (0, 1, 2, 3, etc.) peuvent être comptés (dénombrés) assez simplement ; les entiers relatifs (0; 1; -1; 2; -2; etc.) le peuvent tout aussi bien. Quant aux nombres rationnels (ceux qui s'écrivent sous la forme d'une fraction irréductible), on peut les compter d'une façon particulière, mais quid des nombres réels ?

 

Savoir compter les rationnels

Nous pouvons commencer par dresser la liste des rationnels sous forme de tableau comme ci-dessous :

 

 En tentant de les compter en comptant d'abord les fractions de chaque ligne puis en multipliant par le nombre de lignes, on se heurte à un produit infini et en définitive, on ne dénombre pas les fractions.

Par contre, on comptant le nombre de fractions sur les diagonales, on a :

Et là, on voit que le nombre de fractions sur chaque diagonale est fini ; par conséquent, on peut dénombrer les fractions.

Compter les réels

Supposons que l'on sache dénombrer les nombres réels et donc dresser une liste exhaustive de ces nombres. Dans cette liste, si on considère tous les nombres compris entre 0 et 1 par exemple, on a : (les valeurs ici sont purement illustratives)

0,1021201321

0,2132120121

0,3102100122

0,4010012011

etc.

On peut alors former un nombre 0,... en prenant dans la partie décimale :

le premier chiffre égal au premier chiffre de la partie décimale du premier nombre ;

le deuxième chiffre égal au deuxième chiffre de la partie décimale du deuxième nombre ;

le troisième chiffre égal au troisième chiffre de la partie décimale du troisième nombre ;

etc.

On obtient alors le nombre : 0,1100... Maintenant, à la place de chaque chiffre de la partie décimale de ce dernier nombre, on y met un chiffre différent ; par exemple, on obtient 0,2013... Ce dernier nombre devrait en théorie appartenir à notre liste exhaustive mais voilà... ce n'est pas possible ! En effet, sa première décimale n'est pas celle du premier nombre donc il ne pourrait être égal à ce dernier. De plus, sa deuxième décimale n'est pas celle du deuxième nombre donc il ne serait être égal au deuxième nombre de la liste, etc.

Nous avons donc formé un nombre qui n'est pas dans la liste supposée exhaustive, ce qui signifie que la liste n'est pas exhaustive : on ne peut donc pas dénombrer les nombres réels.

Epilogue

En montrant que les entiers naturels, relatifs et rationnels se dénombraient, nous avons dit que le nombre d'éléments de ces ensembles était le même. Bon, en fait, c'est un peu abusé de dire cela car l'ensemble des entiers naturels est, nous le savons, infini. Nous avons donc dit que l'infini de ces ensembles était le même ; on le note \( \aleph_0 \) (aleph 0).

En revanche, l'infini qui correspond au cardinal (ça y est ! j'ai laché le mot !) de l'ensemble des réels n'est pas le même : on le note \( \aleph_1 \) et est considéré comme « plus grand » que celui des entiers naturels.

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2017  Le blog de Stéphane Pasquet