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Quel est le chiffre des unités de ...

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Prologue

Je ne sais pas vous, mais moi, j'adore me poser ce type de questions : "quel est le chiffre des unités du nombre ...", et là, je sors n'importe quoi comme opération.

Bon, on est tous d'accord que ça ne sert absolument à rien... si ce n'est à s'amuser intellectuellement. Hier, je proposai donc sur ma page Facebook dédiée aux curiosités mathématiques (https://www.facebook.com/lesaviezvousmathematiques) la question suivante : "Quel est le chiffre des unités du nombre \( 2016^{2016}-1 \) ?

 

La résolution

Bon, au premier abord, on peut se dire que c'est difficile mais en définitive, le fait d'être en 2016 arrange bien les choses ! En effet, trouver le chiffre des unités de \(2016^{2016}-1\) est bien plus simple que de trouver celui de \(2017^{2017}-1\).

Et oui ! \( 2016 \times 2016 \) se termine nécessairement par un 6 car \( 6 \times 6 = 36 \); par conséquent, n'importe quelle puissance de 2016 se termine par un 6, et donc \(2016^{2016}-1\) se termine par un 5. Evident non ?

Et pour \(2017^{2017}-1 \) ?

Oui, parce que je ne vais pas m'arrêter là ! J'ai besoin que ce soit plus compliqué... On voit qu'ici, le raisonnement précédent ne fonctionne pas car \( 2017 \times 2017 \) se termine par un 9 (car \(7 \times 7 = 49 \) et du coup, patatra ! Fini la facilité... 

Sauf que j'ai en ma possession un outil nommé Arithmétique modulaire !

Le nombre 2017 est, à un certain nombre de fois 10, équivalent à 7 (on dit que 2017 est congru à 7 modulo 10) car \(2017=201\times10+7\). Donc \(2017^{2017} \) est congru à \(7^{2017} \) modulo 10 (on écrit alors \(2017^{2017} \equiv 7^{2017} \mod 10\) )

Là, je constate que :

  • \(7^1=7\)
  • \(7^2=49\equiv9\mod 10\)
  • \(7^3=7^2\times7\equiv9\times7\equiv63\equiv3\mod 10\)
  • \(7^4=7^3\times7\equiv3\times7\equiv21\equiv1\mod 10\)

Dans ce cas, \( 7^{4k}\equiv\left(7^4\right)^k\equiv1^k\equiv1\mod 10\), où \( k\in\mathbb{N} \).

Or, \(2017 = 4\times504+1\) donc \(7^{2017}=\left(7^4\right)^{504}\times7^1\equiv1\times7\equiv7\mod 10\).

Et voilà ! \(2017^{2017}\) se termine donc par un 7, et donc \(2017^{2017}-1\) se termine par un 6 !

Peut-on se servir de cet outil pour autre chose ?

Bien sûr que oui ! Vous imaginez bien que l'on n'a pas inventé un outil aussi génial uniquement pour ça ! 

Voici un exemple : les critères de divisibilité...

Comment voit-on qu'un nombre est divisible par 3 ?

Vous vous souvenez peut-être de cette règle, vue au collège : « Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est aussi divisible par 3 ».

Par exemple, 4722 est divisible par 3 car 4 + 7 + 2 + 2 = 15, qui est un multiple de 3. Mais pourquoi cette règle fonctionnet-t-elle ?

Considérons un nombre à deux chiffres \( x = 10d+u \), où \(d\) et \(u\) sont deux entiers naturels. Dire que \(x\) est divisible par 3 signifie qu'à 3 près, il est égal à 0, ce qui s'écrit : \( x \equiv 0 \mod 3\), soit \( 10d+u\equiv0\mod 3\).

Or, \(10\equiv1\mod3\) car \(10=3\times3+1\), donc \(10d+u\equiv1d+u\equiv d+u \mod 3\). Par conséquent, \(x\) est divisible par 3 si \(d+u\equiv0\mod3\), ce qui revient à dire que la somme de \(d\) et \(u\) ets divisible par 3.

Le raisonnement est identique sur un nombre à \(n\) chiffres : \( x = x_0 + 10x_1 + 10^2x_2 + \cdots + 10^nx_n \). On sait que \(10^k\equiv1\mod3\) car \(10^k-1=9\times1\ldots1\) (avec \(k-1\) « 1 »), donc \(10^k-1\equiv0\mod3\), soit \(10^k\equiv1\mod3\), pour \( k\in\mathbb{N} \).

Ainsi, \(x \equiv x_0+x_1+x_2+\cdots x_n \), donc \(x\) est équivalent modulo 3 à la somme de ses chiffres, d'où la propriété de collège.

Et pour 7 par exemple ?

Au collège, en revanche, on ne voit pas de critère de divisibilité par 7... Mais avec un raisonnement analogue à celui fait précédemment, on obtiens quoi ?

Posons \( x = 10d+u \). Comme \(10\equiv3\mod7\), \(x\equiv3d+u\). Ainsi, pour savoir si le nombre 3934 est divisible par 7, il faut voir si \( 3\times393+4\) l'est aussi.

\( 3\times393+4 = 3(400-7)+4=1200-21+4=1183 \)

1183 est divisible par 7 si \( 3\times118+3 \) l'est aussi.

\(3\times118+3 = 3(120-2)+3 = 360-3 = 357 \)

357 est divisible par 7 si \( 3\times35+7\) l'est aussi, ce qui est le cas car 35 et 7 sont des multiples de 7.

Finalement, 3934 ets bien sivisible par 7, mais ce critère est-il réellement intéressant ? À vous de juger... 

Epilogue

À l'aide de l'arithmétique modulaire, on peut trouver des critères de divisibilité parf n'importe quel nombre premier, mais tous ne sont pas intéressants.

Mais cette arithmétique ne sert pas uniquement à cela; on s'en sert en cryptographie (le cryptage des données) et ça, c'est nettement plus utile !

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2017  Le blog de Stéphane Pasquet